Matter Wave (De-Brolie Hypothesis)

বিকিরণের দ্বৈত প্রকৃতি (Wave Particle Duality): ব্যতিচার (Interference), অপবর্তন (Diffraction), সমাবর্তন (Polarization) ইত্যাদ...

Motion in One Dimension (বস্তুর একমাত্রিক গতি) Part: I

ROTATIONAL MECHANICS (ঘূর্ণন গতিবিজ্ঞান)

West Bengal B. Sc Nursing Entrance Examination: JENPARH

বিকিরণের দ্বৈত প্রকৃতি (Wave Particle Duality):

ব্যতিচার (Interference), অপবর্তন (Diffraction), সমাবর্তন (Polarization) ইত্যাদি আলোকীয় ঘটনা আলোর তরঙ্গধর্মের পরিচয় দেয়। পরবর্তীকালে বিজ্ঞানী হাইগেনস ও ফ্রেনেল আলোর তরঙ্গধর্মের সাহায্যে এই ঘটনাগুলির ব্যাখ্যা দিতে সমর্থ হন।

অপরদিকে আলোকতড়িত ক্রিয়া (Photoelectric Effect), কৃষ্ণ বস্তুর বিকিরণ (Black Body Radiation), কম্পটন ক্রিয়া (Compton Effect), রামন ক্রিয়া (Raman Effect) প্রভৃতি আলোকীয় ঘটনার ব্যাখ্যা আলোর তরঙ্গধর্মের সাহায্যে দেওয়া যায় না। এক্ষেত্রে আলোককে ঝাঁক ঝাঁক কোয়ান্টা বা ফোটনের সমষ্টি মনে করলে এই ঘটনাগুলির ব্যাখ্যা সুন্দরভাবে দেওয়া যায়। ম্যাক্স প্ল্যাঙ্ক প্রবর্তিত এই কোয়ান্টাম তত্ত্ব সর্বপ্রথম প্রয়োগ করে দেখান বিজ্ঞানী আইনষ্টাইন। কম্পটন ক্রিয়ার ব্যাখ্যা থেকে আলোক ফোটনের ভরবেগ পাওয়া যায় $P = \frac{{h\nu }}{c} = \frac{h}{\lambda }$।

এখানে ভরবেগ (Momentum) হল পদার্থ কণিকার একটি গতীয় ধর্ম। গতি না থাকলে ভরবেগ থাকে না। সুতরাং কম্পটন ক্রিয়া থেকে বলা যায় আলোর কণিকা সত্ত্বা বর্তমান। অনুরূপভাবে, আলোক তড়িত ক্রিয়া, রামন ক্রিয়াও প্রমান করে আলোর কণাধর্ম বর্তমান। প্রকৃতপক্ষে আলো একস্থান থেকে অন্যস্থানে বিস্তারকালে তরঙ্গরূপ আচরণ করে এবং বস্তুর সঙ্গে আলোর ক্রিয়াকালে (Interaction With Matter) কণারূপ আচরণ করে। আলোর এই দ্বৈত আচরণকে বিকিরণের দ্বৈত প্রকৃতি বলে।

ডি-ব্রগলি প্রকল্প (De-Broglie Hypothesis): 

একটি সচল পদার্থকণা কখনো তরঙ্গের মতো আবার কখনো কণার মতো আচরণ করে, অথবা একটি সচল পদার্থকণার সঙ্গে সর্বদা একটি তরঙ্গ যুক্ত থাকে যা কণাটিকে সর্বতোভাবে নিয়ন্ত্রন করে। কণার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট এই তরঙ্গ তড়িত চুম্বকীয় তরঙ্গ নয়। এই তরঙ্গকে বস্তু তরঙ্গ (Matter Wave) বলে।

ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য (De-Broglie Wavelength):

একটি সচল পদার্থকণা কখনো তরঙ্গের মতো আবার কখনো কণার মতো আচরণ করে, অথবা একটি সচল পদার্থকণার সঙ্গে সর্বদা একটি তরঙ্গ যুক্ত থাকে যা কণাটিকে সর্বতোভাবে নিয়ন্ত্রন করে। কোনো সচল কণার সঙ্গে যুক্ত এই তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্যকে ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য বলে।

প্ল্যাঙ্কের কোয়ান্টাম তত্ত্ব অনুসারে, একটি ফোটনের শক্তি হয় $E = h\nu$

আবার আইনষ্টাইনের ভর ও শক্তির তুল্যতা সূত্র থেকে পাই $E = m{c^2}$

সুতরাং $m{c^2} = h\nu$

বা, $mc = \frac{{h\nu }}{c}$

বা, $P = \frac{{h\nu }}{c}$

বা, $P = \frac{h}{\lambda }$

বা, $\lambda  = \frac{h}{P} = \frac{h}{{mc}}$

এখন ফোটনের পরিবর্তে $v$ বেগে চলমান কোনো কণা নেওয়া হলে, কণাটির সংশ্লিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda  = \frac{h}{P} = \frac{h}{{mv}}$

De-Broglie Wavelengths in Different Situation:

(A) De-Broglie Wavelengths in terms of Kinetic Energy:

আমরা জানি $m$ ভরের কোনো বস্তু $v$ বেগে চলমান থাকলে তার গতিশক্তি হয় $E = \frac{1}{2}m{v^2}$

বা, $m{v^2} = 2E$

বা, ${m^2}{v^2} = 2mE$

বা, ${P^2} = 2mE$

বা, $P = \sqrt {2mE}$

সুতরাং ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda  = \frac{h}{P} = \frac{h}{{\sqrt {2mE} }}$

(B) De Broglie Wavelength associated with charged Particle:

একটি $q$ মানের আধানকে $V$ বিভবে ত্বরান্বিত করা হলে, তার মধ্যে অর্জিত গতিশক্তি হয় $E = \frac{1}{2}m{v^2} = qV$

বা, $m{v^2} = 2qV$

বা, ${m^2}{v^2} = 2mqV$

বা, ${P^2} = 2mqV$

বা, $P = \sqrt {2mqV}$

সুতরাং ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda  = \frac{h}{P} = \frac{h}{{\sqrt {2mqV} }}$

এই সূত্রানুযায়ী কোনো আহিত কণার ভর, আধানের মান বসিয়ে তার ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। যেমন এই সূত্রানুযায়ী $V$ বিভবে ত্বরান্বিত কোনো আহিত কণার তরঙ্গদৈর্ঘ্য হয়

${\lambda _{electron}} = \frac{{12.27}}{{\sqrt V }}{A^0}$

${\lambda _{proton}} = \frac{{0.286}}{{\sqrt V }}{A^0}$

${\lambda _{deuteron}} = \frac{{0.202 \times {{10}^{ - 10}}}}{{\sqrt V }}{A^0}$

${\lambda _{alpha}} = \frac{{0.101}}{{\sqrt V }}{A^0}$

(C) De Broglie Wavelength associated with uncharged particle:

$m$ ভরের কোনো আহিত কণার পরমস্কেলে উষ্ণতা $T$ হলে তার গতিশক্তি হয় $E = \frac{1}{2}m{v^2} = KT$, যেখানে $K$ হল বোলজ্‌ম্যান ধ্রুবক এবং এর মান $1.38 \times {10^{ - 23}}Joule/K$

বা, $m{v^2} = 2KT$

বা, ${m^2}{v^2} = 2mKT$

বা, ${P^2} = 2mKT$

বা, $P = \sqrt {2mKT}$

সুতরাং ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda  = \frac{h}{P} = \frac{h}{{\sqrt {2mKT} }}$

এই সূত্রানুযায়ী $T$ পরম তাপমাত্রায় একটি নিউট্রনের সংশ্লিষ্ট ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য হয়

         ${\lambda _{neutron}} = \frac{{6.62 \times {{10}^{ - 34}}}}{{\sqrt {2 \times 1.07 \times {{10}^{ - 17}} \times 1.38 \times {{10}^{ - 23}} \times T} }} = \frac{{30.83}}{{\sqrt T }}{A^0}$

(D) De Broglie Wavelength associated with Gas molecule:

কোনো গ্যাস অনুর ক্ষেত্রে তার $rms$ বেগের মান হয় ${v_{rms}} = \sqrt {\frac{{3KT}}{m}}$

সেক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট ডি ব্রগলির তরঙ্গদৈর্ঘ্য হয় $\lambda  = \frac{h}{{m{v_{rms}}}} = \frac{h}{{\sqrt {3mKT} }}$