When a body is thrown up, it reaches a certain height then falls down. The downward pull of the earth on the body decreases its velocity in ...
When a body is thrown up, it reaches a certain height then falls down. The downward pull of the earth on the body decreases its velocity in the upward direction to zero at some height. The body cannot rise further. This is therefore, the maximum height.The same downward pull of earth on the body makes it fall downwards from the maximum height.
Based on these findings, Newton postulated his famous Universal Laws of Gravitation in 1867. This law known as Gravitation
The concept of Gravitational Force: Gravitation force is the attractive force that one body exerts on another body because of its mass. Therefore, gravitation exists because of masses of bodies. Two fundamental points to remember are:(1) Gravitation exists because of the mass of the body. If a body did not have any mass, there would not have any gravitational force.
(2) Gravitational force is always attractive.
When we studying the concept of gravitational force, it is necessary to understand the concept of a field. We know that there are various kind of field, electric field which created by charge, magnetic field which created by magnetic pole and here we have meet the gravitational field. The area or space around a body within which its gravitational force of attraction is experienced by other bodies is called gravitational field.
| Type of Force | Field | Who is responsible for that field | Nature |
|---|---|---|---|
| Electric Force | Electric Field | Charge | Attractive and repulsive |
| Magnetic Force | Magnetic field | Pole of a magnet | Attractive and Repulsive |
| Gravitational Force | Gravitational Field | Mass of the body | Only attractive |
যখন কোনো বস্তুকে উপরের দিকে ছোঁড়া হয়, তখন সেটি একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা পর্যন্ত ক্ষনিকের জন্য স্থির হয় তারপর আবার নীচের দিকে নামতে থাকে। এখানে বস্তুটির উপর সর্বদা একটি পৃথিবীর টান ক্রিয়া করে যার ফলে উপরে উঠার সময় বস্তুটির বেগ ক্রমশ কমতে কমতে সর্বোচ্চ উচ্চতায় স্থির হয়। এবং পৃথিবীর সেই একই টানের জন্য বস্তুটি আবার নীচের দিকে নামতে থাকে।
১৯৬৫ খ্রীষ্টাব্দে এই পর্যবেক্ষন থেকেই নিউটন সিদ্ধান্তে আসেন যে, যে বল আপেলের পৃথিবীতে পড়া নিয়ন্ত্রন করে সেই একই বলই চন্দ্রকে তার নিজ কক্ষপথে ধরে রাখে। এটাই ছিল মহাকর্ষীয় সূত্রের প্রথম ধাপ। এই পর্যবেক্ষন থেকে ১৯৬৭ খ্রীষ্টাব্দে নিউটন সার্বজনীন মহাকর্ষীয় সূত্রের অবতারনা করেন।
দুটি বস্তুর মধ্যে আধান থাকলে যেমন তাদের মধ্যে আকর্ষণ বা বিকর্ষণ বল ক্রিয়া করে, তেমনি কেবলমাত্র ভরের জন্য দুটি বস্তুর মধ্যে সর্বদা চএকটি আকর্ষণী বল ক্রিয়া করে। এই মহাকর্ষীয় বল প্রকৃতির চারটি মৌলিক বলের মধ্যে সবচেয়ে দূর্বলতম বল। কারণ গ্রহ নক্ষত্রদের জন্মে ও মহাবিশ্বের গঠন নিয়ন্ত্রনে এই মহাকর্ষীয় বল খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এই বল একটি বস্তুর ভরের জন্য অন্য আর একটি ভরের বস্তুকে আকর্ষণ করে। তাই কোনো ভরহীন বস্তুর কাছে মহাকর্ষীয় বলের কোনো অস্থিত্ব নেই।
একটি বস্তুর ভরের জন্য তার চারিপাশে একটি মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের সৃষ্টি হয় যেখানে দ্বিতীয় কোনো ভর আনলে ওই আগের বস্তুর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের দরুন একটি আকর্ষন বল ক্রিয়া করে। কোনো বস্তু বা বস্তুসমষ্টির চারিদিকে যতদুর পর্যন্ত ওই বস্তু বা বস্তু সমষ্টির মহাকর্ষীয় আকর্ষণ অনুভব করা যায়, ওই অঞ্চলকে ওই বস্তু বা বস্তু সমষ্টি মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র বলে।
Universal Law of Gravitation:
Each particle attracts every other particles in this universe. The force of attraction between two particles or two objects is directly proportional to the product of their masses and inversely proportional to square of the distance between them. This force is called gravitational force. The direction of the force is along the line joining between the two particles.
Let A and B be the two particles of masses \({m_1}\) and \({m_2}\) respectively. Let the distance \(AB = r\).
By the law of gravitation, the particle A attracts the particle B with a force F such that
\(F\alpha {m_1}{m_2}\) [For a given separation of the particles ]
\(F\alpha \frac{1}{{{r^2}}}\) [For a given pair of particles]
So, we can write \(F\alpha \frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\)
or, \(F\alpha \frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\)
Here G is a constant of proportionality known as universal constant of gravitation. This is the mathematical form of Newton's law of gravitation.
Universal Law of Gravitation:
এই মহাবিশ্বে যে-কোনো দুটি বস্তুকণা পরস্পর পরস্পরকে তাদের সংযোজী সরলরেখা বরাবর আকর্ষণ করছে। এই আকর্ষণ বলের মান বস্তুকণা দুটির ভরের গুনফলের সমানুপাতী এবং তাদের মধ্যকার দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতী। এই বল কণাদুটির সংযোগকারী রেখা বরাবর ক্রিয়া করে।
ধরাযাক বস্তুকণাদুটির ভর যথাক্রমে \({m_1}\) এবং \({m_2}\) এবং তাদের মধ্যকার দূরত্ব \(r\) হলে, বস্তুদুটির পারস্পরিক আকর্ষন বলের মান
\(F\alpha {m_1}m{}_2\) যখন তাদের মধ্যকার দূরত্ব স্থির থাকে। এবং
\(F\alpha \frac{1}{{{r^2}}}\) যখন তাদের ভর \({m_1}\) এবং \({m_2}\) স্থির থাকে।
এখন যৌগিকভেদের নিয়মানুযায়ী পাই,
\(F\alpha \frac{{{m_1}m{}_2}}{{{r^2}}}\) যখন \({m_1}\), \({m_2}\) এবং \(r\) সকলেই পরিবর্তিত হয়।
বা, \(F = \frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\)
এখানে G একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক, একে সার্বজনীনে মহাকর্ষীয় ধ্রুবক (Universal Gravitational Constant) বলা হয়।
Definition of Gravitational Constant:
According to Newton's law of gravitation, force between two bodies of masses \({m_1}\) and \({m_2}\) separated by a distance \(r\) is given by
\(F = \frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\)
or, \(G = \frac{{F{r^2}}}{{{m_1}{m_2}}}\)
If \({m_1}\) = \({m_2}\) = 1 and \(r\) = 1 then G = F
Therefore, universal gravitational constant (G) is numerically equal to the force of attraction between two bodies of mass 1 \(gm\) each separated by a distance of 1 \(cm\)
or,
Universal gravitational (G) is the force of attraction between two bodies of mass 1 \(kg\) each separated by a distance of 1 \(m\)
Definition of Gravitational Constant:
\({m_1}\) এবং \({m_2}\) ভরসম্পন্ন দুটি বস্তুকণা \(r\) দূরত্বে থাকলে মহাকর্ষীয় বলের মান হয়,
\(F = \frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\)
বা, \(G = \frac{{F{r^2}}}{{{m_1}{m_2}}}\)
এখন, \({m_1}\) = \({m_2}\) = 1 \(kg\) এবং \(r = 1m\) হলে G = F হয়।
C.G.S পদ্ধতিতে সংজ্ঞা: 1 \(gm\) ভরের দুটি বস্তুকণা পরস্পর থেকে 1 \(cm\) দূরত্বে রাখলে ওদের মধ্যে যে আকর্ষণ বল ক্রিয়া করে সংখ্যাগতভাবে তা মহাকর্ষীয় ধ্রুবকের সমান হয়।
S.I পদ্ধতিতে সংজ্ঞা: 1 \(kg\) ভরের দুটি বস্তুকণা পরস্পর থেকে 1 \(m\) মিটার দূরত্বে থাকলে যে পরিমান বল দ্বারা পরস্পরকে আকর্ষণ করে, তা সংখ্যাগতভাবে মহাকর্ষীয় ধ্রুবকের সমান হয়।
Unit of Gravitational Constant:
C.G.S পদ্ধতিতে একক = \(dyne.c{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
S.I পদ্ধতিতে একক = \(N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
Dimensional Formula:We know, \(F = \frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\)
or, \(G = \frac{{F{r^2}}}{{{m_1}{m_2}}}\)
Therefore, \(\left[ G \right] = \frac{{\left[ {ML{T^{ - 2}}} \right] \times \left[ {{L^2}} \right]}}{{\left[ {{M^2}} \right]}} = \left[ {{M^{ - 1}}{L^3}{T^{ - 2}}} \right]\)
Value of Gravitational Constant:
In C.G.S unit: \(G = 6.67 \times {10^{ - 8}}\) \(dyne.c{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
In S.I unit: \(G = 6.67 \times {10^{ - 11}}\) \(N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
Universality of Newton's law of Gravitation:
(1) The gravitational force between two particles does not depend on the nature of the medium between the particles.
(2) The gravitational force between two particles does not depend on the shape and size of the particles.
(3) The gravitational force between two object does not depend on the physical state (solid, liquid or gas) of the objects.
(4) This force exists between two nearest bodies (like atom) and also between two distant bodies (like Galaxy)
(5) This law is true irrespective of all place and all time throughout the medium.
Universality of Newton's Law of Gravitation (মহাকর্ষীয় সূত্রের সার্বজনীনতা):
(1) এই সূত্র সকল বস্তুতে প্রযোজ্য।
(2) এই সূত্র মহাবিশ্বে যেকোনো স্থানে প্রযোজ্য।
(3) এই সূত্র বস্তুর যেকোনো অবস্থা যেমন, কঠিন, তরল বা গ্যাসীয় সকল ক্ষেত্রেই সমানভাবে প্রযোজ্য।
(4) এই সূত্র মহাবিশ্বে যেকোনো দূরত্ব যেমন, পার্থিব ক্ষুদ্র দূরত্ব বা গ্রহ নক্ষত্রদের বিশাল দূরত্বের ক্ষেত্রেও সমানভাবে প্রযোজ্য।
(5) মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল বস্তুগুলির মধ্যবর্তী মাধ্যমের উপর নির্ভর করে না।
(6) এই সূত্র পারিপার্শ্বিক মাধ্যমের প্রকৃতি , উষ্ণতা, চাপ বা অন্য কোনো ভৌত অবস্থা ইত্যাদির উপর নির্ভর করে না।
এইসব কারণে মহাকর্ষীয় সূত্রকে বিশ্বজনীন বলে গন্য করা হয়। তবে বর্তমানে বেশ কিছু ক্ষেত্রে এই সূত্রের সামান্য ত্রুটি দেখা যায়। যেমন,
(1) অতি বিশাল দূরত্ব বা অতি ক্ষুদ্র দূরত্বে অবস্থিত বস্তুদের মধ্যেও নিউটনের এই মহাকর্ষীয় সূত্র প্রযোজ্য হয় কিন্তু \({10^{ - 9}}\) মিটার থেকে কম দূরত্বে অর্থাৎ আনবিক বা পারমানবিক দূরত্বের ক্ষেত্রে এই সূত্র খাটে না।
(2) খুব ভারী নক্ষত্রদের প্রবল মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে এই সূত্রের ত্রুটি দেখা যায়।
(3) কোনও বস্তুর গতি আলোর বেগের কাছাকাছি হলে এই সূত্রের বিচ্যুতি দেখা যায়।
(4) অতি ক্ষুদ্র পারমানবিক দূরত্বের ক্ষেত্রে এই সূত্র প্রযোজ্য হয় না।
Important Characteristics of Gravitational Force:
(1) Gravitational force between two bodies from an action and reaction pair i.e. the force are equal in magnitude but opposite direction.
(2) Gravitational force is a central force i.e. it acts along the line joining the centre of the two interacting bodies.
(3) Gravitational force between two bodies is independent of the nature of the intervening medium.
(4) Gravitational force between two bodies does not depend upon the presence of other bodies.
(5) Gravitational force is negligible in case of light bodies but become appreciable in case of massive bodies like star and planets.
(6) Gravitational force is a long range force i.e. gravitational force between two bodies is effective even if their distance of separation is very large. For example, gravitational force between the sun and earth is of the order of \({10^{22}}\) N although distance between them is \(1.5 \times {10^8}\) km.
(7) Gravitational force is a conservative force.
(8) Gravitational force is attractive in nature.
Important Characteristics of Gravitational Force:
(1) দুটি বস্তুর মধ্যে মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল পারসগপরিক ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া সৃষ্টি করে অর্থাৎ নিউটনের তৃতীয় সূত্র মেনে চলে।
(2) মহাকর্ষ বল একটি কেন্দ্রীয় (Central Force) বল, কারণ এই বল সর্বদা বস্তুদুটির সংযোগকারী রেখা বরাবর ক্রিয়া করে।
(3) এটি একটি সংরক্ষী বল (Conservative Force)।
(4) মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল বস্তুদুটির মধ্যবর্তী মাধ্যমের প্রকৃতি নিরপেক্ষ।
(5) দুটি বস্তুর মধ্যে পাস্পরিক আকর্ষণ বল পাশাপাশি অবস্থিত অন্য বস্তুদের উপস্থিতি নিরপেক্ষ।
(6) যতক্ষন পর্যন্ত বস্তুদুটির ভর ও মধ্যবর্তী দূরত্ব স্থির থাকে, ততক্ষন তাদের প্রকৃতি বা আকার নিরপেক্ষ।
(7) এই বল পার্থিব ক্ষুদ্র দূরত্ব আবার নভোমন্ডলীয় বস্তুর মধ্যেও এই বলের উপস্থিতি থাকে।
Importance of the Universal law of Gravitation (Experimental Evidence in Support of the Law of Gravitation)
The gravitational force is one of the fundamental force in nature. The gravitational force is responsible for the following phenomena.
(1) All the planets including the earth rotates around the sun due to the gravitational force between the sun and the planet i.e. the existence of the solar system (motion of a planet around the sun)
(2) Holding the atmosphere near the surface of the earth is due to gravitational force of the earth.
(3) The flow of water in the river.
(4) For rainfall and snowfall.
(5) Tides are formed in oceans duo to gravitational force between the moon and the ocean water i.e. occurrence of tide.
(6) Prediction about solar and lunar eclipses made on the basis of this law always come out to be true.
(7) The gravitational force between the planet and its satellite which makes the satellite to move around the planet. Example, motion of moon around the earth.
Importance of the Universal law of Gravitation (Experimental Evidence in Support of the Law of Gravitation)
(1) এই মহাকর্ষীয় বলের জন্য পৃথিবীসহ সমসগত গ্রহ সূর্যের চারিদিকে আবর্তন করছে। তাই এই মহাকর্ষীয় বলের জন্যই সৌরজগৎ এর অস্থিত্ব রয়েছে।
(2) এই মহাকর্ষীয় বলের জন্যই পৃথিবীপৃষ্ঠে বায়ুমন্ডলের অস্থিত্ব রয়েছে।
(3) নদীতে জলের গতি এই মহাকর্ষের জন্যই ঘটে থাকে।
(4) বৃষ্টিপাত এবংতুষারপাত মহাকর্ষীয় বলের জন্যই ঘটে।
(5) সমুদ্র বা বড় নদীতে জোয়ার ভাটার সৃষ্টির জন্য দায়ী এই মহাকর্ষীয় বল। এখানে সমুদ্রের বিপুল জলরাশি এবং চাঁদের আকর্ষনেই জোয়ার ভাটার সৃষ্টি হয়।
(6) কোনো গ্রহের উপগ্রহের গতি যেমন পৃথিবীকে কেন্দ্র করে চাঁদের গতি এই মহাকর্ষীয় বলের জন্যই ঘটে।
Estimation of Gravitational force between different Objects:
( কয়েকটি নভোমন্ডলীয় বস্তুর মধ্যে মহাকর্ষীয় আকর্ষন বল)
The gravitational force between a body of 1 kg and the earth:
Mass of the earth = \({m_e}\) = \(6 \times {10^{24}}\) kg
Mass of the body = \({m_b}\) = 1 kg
Radius of the earth = \(R = 6.4 \times {10^6}\) m
Universal Gravitational Constant = G = \(6.67 \times {10^{ - 11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
Therefore \(F = \frac{{G{m_e}{m_b}}}{{{r^2}}} = \frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 6 \times {{10}^{24}} \times 1}}{{{{\left( {6.4 \times {{10}^6}} \right)}^2}}} = 9.8N\)
Gravitational Force Between Sun and Earth:
(সূর্য এবং পৃথিবীর মধ্যে মহাকর্ষীয় আকর্ষন বল):
Mass of the Sun = \({m_s} = 2 \times {10^{30}}kg\)
Mass of the earth = \({m_e} = 6 \times {10^{24}}kg\)
Distance between Sun and Earth = \(1.5 \times {10^{11}}m\)
Universal Gravitational Constant = \(6.67 \times {10^{ - 11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
Therefore, \(F = \frac{{G{m_s}{m_e}}}{{{r^2}}} = \frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 2 \times {{10}^{30}} \times 6 \times {{10}^{24}}}}{{{{\left( {1.5 \times {{10}^{11}}} \right)}^2}}} = 3.6 \times {10^{22}}N\)
Gravitational Force between Moon and Earth:
(পৃথিবী ও চন্দ্রের মধ্যে মহাকর্ষীয় আকর্ষন বল):
Mass of the Earth = \(6 \times {10^{24}}kg\)
Mass of the Moon = \(7.4 \times {10^{22}}kg\)
Distance between Earth and the Moon = \(3.8 \times {10^8}m\)
Universal Gravitational Constant = \(6.67 \times {10^{11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
Therefore, \(F = \frac{{6.67 \times {{10}^{11}} \times 6 \times {{10}^{24}} \times 7.4 \times {{10}^{22}}}}{{{{\left( {3.8 \times {{10}^8}} \right)}^2}}} = 2.05 \times {10^{20}}N\)
Gravitation and Newton's third Law of Motion:
According to Newton's third law, every action, there is always an equal and opposite reaction. It means if an object A exert some force on another object B, then the object B exert an equal and opposite force on the object A at the same instant. This law applies to the force of gravitation also.
Now according to Newton's second law of motion,
Force = mass \( \times \) acceleration
or, Acceleration = \(\frac{{Force}}{{mass}}\)
or, Acceleration \(\alpha \frac{1}{{mass}}\)
That is for a given force, acceleration produced in a body is inversely proportional to the mass.
We know that acceleration produced in a body due to gravitational pull of earth on it is about \(9.8m.{s^{ - 2}}\). As the acceleration is very large, we can see the body falling towards the earth.
We shall also see the gravitational pull of same magnitude acts on the earth. But mass of earth is about \(6 \times {10^{ - 24}}kg\). So the acceleration produced in the earth is about \(1.63 \times {10^{ - 24}}kg\). As the value of acceleration is too small we cannot see the earth moving towards the falling body.
Gravitation and Newton's third Law of Motion (Bengali):
নিউটনের তৃতীয় সূত্র থেকে আমরা পাই, প্রত্যেক ক্রিয়ারই সমান ও বিপরীত প্রতিক্রিয়া আছে। অর্থাৎ কোনো একটি বস্তু A অপর একটি বস্তু B এর উপর যদি বল প্রয়োগ করে, তাহলে এই B বস্তুটিও A বস্তুর উপর সমান বল প্রয়োগ করবে। কোনো অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রেও এই সূত্র প্রযোজ্য হয়। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে পাই,
বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল বল = বস্তুটির ভর \( \times \) বস্তুতে সৃষ্ট ত্বরণ
বা বস্তুতে সৃষ্ট ত্বরণ(Acceleration) = \(\frac{{Applied - Force}}{{mass}}\)
বা, Acceleration produced in a body \( = \frac{{Force}}{{Mass}}\)
বা, Acceleration \(\alpha \) \(\frac{1}{{mass}}\)
সুতরাং একটি নির্দিষ্ট বলের ক্ষেত্রে সৃষ্ট ত্বরণ, তার ভরের ব্যস্তানুপাতী। অর্থাৎ বস্তুর ভর বেশী হলে তাতে ত্বরণ ত্বরণ কম সৃষ্টি হবে আবার বস্তুর ভর কম হলে তার ত্বরণ অনেক বেশি হবে।
আমরা জানি পৃথিবীর শুধুমাত্র অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে কোনো বস্তুর ত্বরণ হয় \(9.8m.{s^{ - 2}}\)। এই ত্বরণের মান বেশি হওয়ায় আমরা সর্বদা কোনো বস্তুকে পৃথিবীপৃষ্ঠেই পড়তে দেখি।
অপরদিকে পৃথিবীর ভর প্রায় \(6 \times {10^{24}}kg\)। অর্থাৎ এই অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে পৃথিবীতেও ত্বরণ সৃষ্টি হবে। কিন্তু পৃথিবীর ভর বস্তুটির ভরের তুলনায় অনেক অনেক বেশি হওয়ায় পৃথিবীতে সৃষ্ট ত্বরণ হয় প্রায় \(1.63 \times {10^{ - 24}}m.{s^{ - 2}}\)। তাই পৃথিবী বস্তুর দিকে ধাবিত না হয়ে বস্তুটি পৃথিবীর দিকে ধাবিত হয়।
Alternative thinking skill about Gravitation and Newton's third law:
পৃথিবী কোনও ক্ষুদ্র বস্তুর উপর যে অভিকর্ষ বল প্রয়োগ করে, নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুযায়ী বস্তুও পৃথিবীর উপর সমান ও বিপরীত বল প্রয়োগ করে। তাহলে আমরা বস্তুকে পৃথিবীর দিকে ছুটে যেতে দেখি, কিন্তু পৃথিবী বস্তুর দিকে ছুটে যায় না কেন?
ধরাযাক পৃথিবীর ভর \(M\) এবং বস্তুর ভর \(m\)। এখন পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে বস্তুটির দূরত্ব \(r\) হলে পারস্পরিক অভিকর্ষ বল হয় \(F = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}\)
এখন বস্তুটির দ্বারা পৃথিবীর উপর প্রযুক্ত বল = পৃথিবীর দ্বারা বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল
এখন এই বলের প্রভাবে পৃথিবীতে সৃষ্ট ত্বরণ = \({a_E} = \frac{F}{M} = \frac{{Gm}}{{{r^2}}}\) এবং
বস্তুতে সৃষ্ট ত্বরণ = \({a_o} = \frac{F}{m} = \frac{{GM}}{{{r^2}}}\)
এখন \(\frac{{{a_o}}}{{{a_E}}} = \frac{{\frac{{GM}}{{{r^2}}}}}{{\frac{{Gm}}{{{r^2}}}}} = \frac{M}{m} \gg 1\)
বা, \({a_o} \gg {a_E}\)
অর্থাৎ বস্তুতে সৃষ্ট ত্বরণ >> পৃথিবীতে সৃষ্ট ত্বরণ
এই কারনে আমরা ক্ষুদ্র যেকোনও বস্তুকে পৃথিবীর দিকে ছুটে যেতে দেখি, পৃথিবী বস্তুর দিকে যায় না।
Centre of Mass:
The motion of a system of particles or an extended object is quite complicated. This is because every particle of the system moves in a different manner than the other particles of the system. Therefore, to describe the overall motion of a body or a system of particles in a simple manner. We replace the system of particles by a single point where whole of the mass were supposed to be concentrated. The point is known as centre of mass.
"Centre of mass of a system or a body is a point where whole mass of the system were supposed to be concentrated and this point-like mass has the same type of translation motion as the system as a whole if same net external force acts on this point like mass as acting on the system. "
\( \triangleleft note \triangleright \) Centre of mass of a body or a system is its balancing point.
ভরকেন্দ্র (Centre of Mass):
কোনও বস্তু বা বস্তু সমষ্টির ভরকেন্দ্র বলতে এমন একটি বিন্দুকে বোঝায় যেখানে তার সমগ্র ভর কেন্দ্রীভূত আছে বলে ধরা হয় এবং ওই বিন্দু সাপেক্ষে বস্তুটিতে কোনো বল প্রয়োগ করলে বস্তুটির শুধুমাত্র রৈখিক গতির সৃষ্টি হয়, কোনো আবর্তগতির সৃষ্টি হয় না। অর্থাৎ ভরকেন্দ্র হল এমন একটি বিন্দু, যে বিন্দু সাপেক্ষে বস্তুর সমস্ত কণাগুলির ভরভ্রামকের সমষ্টি শূন্য হয়।
বাহ্যিক বল প্রযুক্ত না হলে বস্তুর ভরকেন্দ্রের অবস্থার কোনো পরিবর্তন ঘটে না।
Centre of Gravity:
Centre of gravity of a body is defined as the point where the whole weight (gravitational force) of the body were supposed to act. A rigid body is a continuous distribution of mass. Each particle or portion of the body experience the force of gravity. The net effect of all forces is equivalent to the effect of a single force, \(mg\) acting through a point called centre of gravity of the body or we can say that a point in any body at which the force of gravity on the whole body assumed to act is called centre of gravity.
Universality of Newton's law of Gravitation:
(1) The gravitational force between two particles does not depend on the nature of the medium between the particles.
(2) The gravitational force between two particles does not depend on the shape and size of the particles.
(3) The gravitational force between two object does not depend on the physical state (solid, liquid or gas) of the objects.
(4) This force exists between two nearest bodies (like atom) and also between two distant bodies (like Galaxy)
(5) This law is true irrespective of all place and all time throughout the medium.
Universality of Newton's Law of Gravitation (মহাকর্ষীয় সূত্রের সার্বজনীনতা):
(1) এই সূত্র সকল বস্তুতে প্রযোজ্য।
(2) এই সূত্র মহাবিশ্বে যেকোনো স্থানে প্রযোজ্য।
(3) এই সূত্র বস্তুর যেকোনো অবস্থা যেমন, কঠিন, তরল বা গ্যাসীয় সকল ক্ষেত্রেই সমানভাবে প্রযোজ্য।
(4) এই সূত্র মহাবিশ্বে যেকোনো দূরত্ব যেমন, পার্থিব ক্ষুদ্র দূরত্ব বা গ্রহ নক্ষত্রদের বিশাল দূরত্বের ক্ষেত্রেও সমানভাবে প্রযোজ্য।
(5) মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল বস্তুগুলির মধ্যবর্তী মাধ্যমের উপর নির্ভর করে না।
(6) এই সূত্র পারিপার্শ্বিক মাধ্যমের প্রকৃতি , উষ্ণতা, চাপ বা অন্য কোনো ভৌত অবস্থা ইত্যাদির উপর নির্ভর করে না।
এইসব কারণে মহাকর্ষীয় সূত্রকে বিশ্বজনীন বলে গন্য করা হয়। তবে বর্তমানে বেশ কিছু ক্ষেত্রে এই সূত্রের সামান্য ত্রুটি দেখা যায়। যেমন,
(1) অতি বিশাল দূরত্ব বা অতি ক্ষুদ্র দূরত্বে অবস্থিত বস্তুদের মধ্যেও নিউটনের এই মহাকর্ষীয় সূত্র প্রযোজ্য হয় কিন্তু \({10^{ - 9}}\) মিটার থেকে কম দূরত্বে অর্থাৎ আনবিক বা পারমানবিক দূরত্বের ক্ষেত্রে এই সূত্র খাটে না।
(2) খুব ভারী নক্ষত্রদের প্রবল মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে এই সূত্রের ত্রুটি দেখা যায়।
(3) কোনও বস্তুর গতি আলোর বেগের কাছাকাছি হলে এই সূত্রের বিচ্যুতি দেখা যায়।
(4) অতি ক্ষুদ্র পারমানবিক দূরত্বের ক্ষেত্রে এই সূত্র প্রযোজ্য হয় না।
Important Characteristics of Gravitational Force:
(1) Gravitational force between two bodies from an action and reaction pair i.e. the force are equal in magnitude but opposite direction.
(2) Gravitational force is a central force i.e. it acts along the line joining the centre of the two interacting bodies.
(3) Gravitational force between two bodies is independent of the nature of the intervening medium.
(4) Gravitational force between two bodies does not depend upon the presence of other bodies.
(5) Gravitational force is negligible in case of light bodies but become appreciable in case of massive bodies like star and planets.
(6) Gravitational force is a long range force i.e. gravitational force between two bodies is effective even if their distance of separation is very large. For example, gravitational force between the sun and earth is of the order of \({10^{22}}\) N although distance between them is \(1.5 \times {10^8}\) km.
(7) Gravitational force is a conservative force.
(8) Gravitational force is attractive in nature.
Important Characteristics of Gravitational Force:
(1) দুটি বস্তুর মধ্যে মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল পারসগপরিক ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া সৃষ্টি করে অর্থাৎ নিউটনের তৃতীয় সূত্র মেনে চলে।
(2) মহাকর্ষ বল একটি কেন্দ্রীয় (Central Force) বল, কারণ এই বল সর্বদা বস্তুদুটির সংযোগকারী রেখা বরাবর ক্রিয়া করে।
(3) এটি একটি সংরক্ষী বল (Conservative Force)।
(4) মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল বস্তুদুটির মধ্যবর্তী মাধ্যমের প্রকৃতি নিরপেক্ষ।
(5) দুটি বস্তুর মধ্যে পাস্পরিক আকর্ষণ বল পাশাপাশি অবস্থিত অন্য বস্তুদের উপস্থিতি নিরপেক্ষ।
(6) যতক্ষন পর্যন্ত বস্তুদুটির ভর ও মধ্যবর্তী দূরত্ব স্থির থাকে, ততক্ষন তাদের প্রকৃতি বা আকার নিরপেক্ষ।
(7) এই বল পার্থিব ক্ষুদ্র দূরত্ব আবার নভোমন্ডলীয় বস্তুর মধ্যেও এই বলের উপস্থিতি থাকে।
Importance of the Universal law of Gravitation (Experimental Evidence in Support of the Law of Gravitation)
The gravitational force is one of the fundamental force in nature. The gravitational force is responsible for the following phenomena.
(1) All the planets including the earth rotates around the sun due to the gravitational force between the sun and the planet i.e. the existence of the solar system (motion of a planet around the sun)
(2) Holding the atmosphere near the surface of the earth is due to gravitational force of the earth.
(3) The flow of water in the river.
(4) For rainfall and snowfall.
(5) Tides are formed in oceans duo to gravitational force between the moon and the ocean water i.e. occurrence of tide.
(6) Prediction about solar and lunar eclipses made on the basis of this law always come out to be true.
(7) The gravitational force between the planet and its satellite which makes the satellite to move around the planet. Example, motion of moon around the earth.
Importance of the Universal law of Gravitation (Experimental Evidence in Support of the Law of Gravitation)
(1) এই মহাকর্ষীয় বলের জন্য পৃথিবীসহ সমসগত গ্রহ সূর্যের চারিদিকে আবর্তন করছে। তাই এই মহাকর্ষীয় বলের জন্যই সৌরজগৎ এর অস্থিত্ব রয়েছে।
(2) এই মহাকর্ষীয় বলের জন্যই পৃথিবীপৃষ্ঠে বায়ুমন্ডলের অস্থিত্ব রয়েছে।
(3) নদীতে জলের গতি এই মহাকর্ষের জন্যই ঘটে থাকে।
(4) বৃষ্টিপাত এবংতুষারপাত মহাকর্ষীয় বলের জন্যই ঘটে।
(5) সমুদ্র বা বড় নদীতে জোয়ার ভাটার সৃষ্টির জন্য দায়ী এই মহাকর্ষীয় বল। এখানে সমুদ্রের বিপুল জলরাশি এবং চাঁদের আকর্ষনেই জোয়ার ভাটার সৃষ্টি হয়।
(6) কোনো গ্রহের উপগ্রহের গতি যেমন পৃথিবীকে কেন্দ্র করে চাঁদের গতি এই মহাকর্ষীয় বলের জন্যই ঘটে।
Estimation of Gravitational force between different Objects:
( কয়েকটি নভোমন্ডলীয় বস্তুর মধ্যে মহাকর্ষীয় আকর্ষন বল)
The gravitational force between a body of 1 kg and the earth:
Mass of the earth = \({m_e}\) = \(6 \times {10^{24}}\) kg
Mass of the body = \({m_b}\) = 1 kg
Radius of the earth = \(R = 6.4 \times {10^6}\) m
Universal Gravitational Constant = G = \(6.67 \times {10^{ - 11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
Therefore \(F = \frac{{G{m_e}{m_b}}}{{{r^2}}} = \frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 6 \times {{10}^{24}} \times 1}}{{{{\left( {6.4 \times {{10}^6}} \right)}^2}}} = 9.8N\)
Gravitational Force Between Sun and Earth:
(সূর্য এবং পৃথিবীর মধ্যে মহাকর্ষীয় আকর্ষন বল):
Mass of the Sun = \({m_s} = 2 \times {10^{30}}kg\)
Mass of the earth = \({m_e} = 6 \times {10^{24}}kg\)
Distance between Sun and Earth = \(1.5 \times {10^{11}}m\)
Universal Gravitational Constant = \(6.67 \times {10^{ - 11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
Therefore, \(F = \frac{{G{m_s}{m_e}}}{{{r^2}}} = \frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 2 \times {{10}^{30}} \times 6 \times {{10}^{24}}}}{{{{\left( {1.5 \times {{10}^{11}}} \right)}^2}}} = 3.6 \times {10^{22}}N\)
Gravitational Force between Moon and Earth:
(পৃথিবী ও চন্দ্রের মধ্যে মহাকর্ষীয় আকর্ষন বল):
Mass of the Earth = \(6 \times {10^{24}}kg\)
Mass of the Moon = \(7.4 \times {10^{22}}kg\)
Distance between Earth and the Moon = \(3.8 \times {10^8}m\)
Universal Gravitational Constant = \(6.67 \times {10^{11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\)
Therefore, \(F = \frac{{6.67 \times {{10}^{11}} \times 6 \times {{10}^{24}} \times 7.4 \times {{10}^{22}}}}{{{{\left( {3.8 \times {{10}^8}} \right)}^2}}} = 2.05 \times {10^{20}}N\)
Gravitation and Newton's third Law of Motion:
According to Newton's third law, every action, there is always an equal and opposite reaction. It means if an object A exert some force on another object B, then the object B exert an equal and opposite force on the object A at the same instant. This law applies to the force of gravitation also.
Now according to Newton's second law of motion,
Force = mass \( \times \) acceleration
or, Acceleration = \(\frac{{Force}}{{mass}}\)
or, Acceleration \(\alpha \frac{1}{{mass}}\)
That is for a given force, acceleration produced in a body is inversely proportional to the mass.
We know that acceleration produced in a body due to gravitational pull of earth on it is about \(9.8m.{s^{ - 2}}\). As the acceleration is very large, we can see the body falling towards the earth.
We shall also see the gravitational pull of same magnitude acts on the earth. But mass of earth is about \(6 \times {10^{ - 24}}kg\). So the acceleration produced in the earth is about \(1.63 \times {10^{ - 24}}kg\). As the value of acceleration is too small we cannot see the earth moving towards the falling body.
Gravitation and Newton's third Law of Motion (Bengali):
নিউটনের তৃতীয় সূত্র থেকে আমরা পাই, প্রত্যেক ক্রিয়ারই সমান ও বিপরীত প্রতিক্রিয়া আছে। অর্থাৎ কোনো একটি বস্তু A অপর একটি বস্তু B এর উপর যদি বল প্রয়োগ করে, তাহলে এই B বস্তুটিও A বস্তুর উপর সমান বল প্রয়োগ করবে। কোনো অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রেও এই সূত্র প্রযোজ্য হয়। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে পাই,
বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল বল = বস্তুটির ভর \( \times \) বস্তুতে সৃষ্ট ত্বরণ
বা বস্তুতে সৃষ্ট ত্বরণ(Acceleration) = \(\frac{{Applied - Force}}{{mass}}\)
বা, Acceleration produced in a body \( = \frac{{Force}}{{Mass}}\)
বা, Acceleration \(\alpha \) \(\frac{1}{{mass}}\)
সুতরাং একটি নির্দিষ্ট বলের ক্ষেত্রে সৃষ্ট ত্বরণ, তার ভরের ব্যস্তানুপাতী। অর্থাৎ বস্তুর ভর বেশী হলে তাতে ত্বরণ ত্বরণ কম সৃষ্টি হবে আবার বস্তুর ভর কম হলে তার ত্বরণ অনেক বেশি হবে।
আমরা জানি পৃথিবীর শুধুমাত্র অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে কোনো বস্তুর ত্বরণ হয় \(9.8m.{s^{ - 2}}\)। এই ত্বরণের মান বেশি হওয়ায় আমরা সর্বদা কোনো বস্তুকে পৃথিবীপৃষ্ঠেই পড়তে দেখি।
অপরদিকে পৃথিবীর ভর প্রায় \(6 \times {10^{24}}kg\)। অর্থাৎ এই অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে পৃথিবীতেও ত্বরণ সৃষ্টি হবে। কিন্তু পৃথিবীর ভর বস্তুটির ভরের তুলনায় অনেক অনেক বেশি হওয়ায় পৃথিবীতে সৃষ্ট ত্বরণ হয় প্রায় \(1.63 \times {10^{ - 24}}m.{s^{ - 2}}\)। তাই পৃথিবী বস্তুর দিকে ধাবিত না হয়ে বস্তুটি পৃথিবীর দিকে ধাবিত হয়।
Alternative thinking skill about Gravitation and Newton's third law:
পৃথিবী কোনও ক্ষুদ্র বস্তুর উপর যে অভিকর্ষ বল প্রয়োগ করে, নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুযায়ী বস্তুও পৃথিবীর উপর সমান ও বিপরীত বল প্রয়োগ করে। তাহলে আমরা বস্তুকে পৃথিবীর দিকে ছুটে যেতে দেখি, কিন্তু পৃথিবী বস্তুর দিকে ছুটে যায় না কেন?
ধরাযাক পৃথিবীর ভর \(M\) এবং বস্তুর ভর \(m\)। এখন পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে বস্তুটির দূরত্ব \(r\) হলে পারস্পরিক অভিকর্ষ বল হয় \(F = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}\)
এখন বস্তুটির দ্বারা পৃথিবীর উপর প্রযুক্ত বল = পৃথিবীর দ্বারা বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল
এখন এই বলের প্রভাবে পৃথিবীতে সৃষ্ট ত্বরণ = \({a_E} = \frac{F}{M} = \frac{{Gm}}{{{r^2}}}\) এবং
বস্তুতে সৃষ্ট ত্বরণ = \({a_o} = \frac{F}{m} = \frac{{GM}}{{{r^2}}}\)
এখন \(\frac{{{a_o}}}{{{a_E}}} = \frac{{\frac{{GM}}{{{r^2}}}}}{{\frac{{Gm}}{{{r^2}}}}} = \frac{M}{m} \gg 1\)
বা, \({a_o} \gg {a_E}\)
অর্থাৎ বস্তুতে সৃষ্ট ত্বরণ >> পৃথিবীতে সৃষ্ট ত্বরণ
এই কারনে আমরা ক্ষুদ্র যেকোনও বস্তুকে পৃথিবীর দিকে ছুটে যেতে দেখি, পৃথিবী বস্তুর দিকে যায় না।
Centre of Mass:
The motion of a system of particles or an extended object is quite complicated. This is because every particle of the system moves in a different manner than the other particles of the system. Therefore, to describe the overall motion of a body or a system of particles in a simple manner. We replace the system of particles by a single point where whole of the mass were supposed to be concentrated. The point is known as centre of mass.
"Centre of mass of a system or a body is a point where whole mass of the system were supposed to be concentrated and this point-like mass has the same type of translation motion as the system as a whole if same net external force acts on this point like mass as acting on the system. "
\( \triangleleft note \triangleright \) Centre of mass of a body or a system is its balancing point.
ভরকেন্দ্র (Centre of Mass):
কোনও বস্তু বা বস্তু সমষ্টির ভরকেন্দ্র বলতে এমন একটি বিন্দুকে বোঝায় যেখানে তার সমগ্র ভর কেন্দ্রীভূত আছে বলে ধরা হয় এবং ওই বিন্দু সাপেক্ষে বস্তুটিতে কোনো বল প্রয়োগ করলে বস্তুটির শুধুমাত্র রৈখিক গতির সৃষ্টি হয়, কোনো আবর্তগতির সৃষ্টি হয় না। অর্থাৎ ভরকেন্দ্র হল এমন একটি বিন্দু, যে বিন্দু সাপেক্ষে বস্তুর সমস্ত কণাগুলির ভরভ্রামকের সমষ্টি শূন্য হয়।
বাহ্যিক বল প্রযুক্ত না হলে বস্তুর ভরকেন্দ্রের অবস্থার কোনো পরিবর্তন ঘটে না।
Centre of Gravity:
Centre of gravity of a body is defined as the point where the whole weight (gravitational force) of the body were supposed to act. A rigid body is a continuous distribution of mass. Each particle or portion of the body experience the force of gravity. The net effect of all forces is equivalent to the effect of a single force, \(mg\) acting through a point called centre of gravity of the body or we can say that a point in any body at which the force of gravity on the whole body assumed to act is called centre of gravity.
(i) The centre of gravity of a body coincides with the centre of mass of the body if the body is small in size (i.e. the vertical height of the body is very very small as compared to the radius of the earth). This is because in case of small body, the value of 'g' remains constant throughout the body. example: A black board, football, a building, water tank, a pond etc.
(ii) In case of a very large body (i.e. whose vertical height is not negligible as compared to the radius of the earth), the value of "g" is different at its different points. Hence, the centre of gravity does not coincide with the centre of mass of a large body.
ভারকেন্দ্র (Centre of Gravity):কোনও বস্তুকে অসংখ্য কণার সমষ্টি বলে হয়। প্রত্যেক কণারই ভর আছে এবং পৃথিবী প্রত্যেকটি কণাকে তার কেন্দ্রের দিকে টানে। পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে কণাগুলি বহুদূরে অবস্থিত, তাই ধরা হয় যে কণাগুলির উপর ক্রিয়ারত অভিকর্ষ বলগুলি কার্যত সমান্তরাল। এই সমান্তরাল সমস্ত বলগুলির লব্ধি অর্থাৎ বস্তুটির ওজন বস্তুসাপেক্ষে একটি বিশেষ স্থির বিন্দু দিয়ে ক্রিয়া করে। বস্তুটিকে যেভাবেই রাখা হোক না কেন বস্তুর ওজন সবসময় এই নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ক্রিয়া করে। এই নির্দিষ্ট বিন্দুকে বস্তুর ভারকেন্দ্র বলে।
"কোনও একটি বস্তুকে একই স্থানে যেভাবেই রাখা হোক না কেন, বস্তুর ওজন সবক্ষেত্রেই বস্তু সাপেক্ষে একটি স্থির বিন্দু দিয়ে ক্রিয়া করে। এই বিন্দুকে বস্তুটির ভারকেন্দ্র বলে।"
যদি বস্তুর আকার খুব বড়ো না হয় তাহলে বস্তুর বিভিন্ন অংশে অভিকর্ষজ ত্বরণকে মানে ও দিকে একই বলে ধরা যায়। সেক্ষেত্রে বিভিন্ন কণার উপর প্রযুক্ত অভিকর্ষজ (mg) বল কণার ভরের সমানুপাতী হয় এবং বস্তুর ভরকেন্দ্র এবং ভারকেন্দ্র একই বিন্দুতে হয়। কিন্তু বৃহৎ বস্তুর ক্ষেত্রে যেমন হিমালয় পর্বতের ক্ষেত্রে অভিকর্ষজ ত্বরণ বিভিন্ন অংশে বিভিন্ন হয়। তখন বস্তুর ওজন কোন সুনির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ক্রিয়া করে না। এক্ষেত্রে ভারকেন্দ্রের অবস্থান বস্তুটিকে কীভাবে রাখা হচ্ছে তার উপর নির্ভর করে।
Acceleration Due to Gravity of the Earth:The acceleration experienced by a body due to gravitational force of the earth is known as acceleration due to gravity.
Consider a body of mass 'm' lying on the surface of the earth. The gravitational force acting on the body is given by
\(F = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}\) where 'M' is the mass of the earth and 'R' is the radius of the earth. Here the mass of the earth is assumed to be concentrated at the centre of the earth.
Thus the acceleration experience by the body of mass 'm' is given by \(g = \frac{F}{m} = \frac{{\frac{{GMm}}{{{R^2}}}}}{m} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
Which is the expression for the acceleration due to gravity. We see that the acceleration due to gravity on earth in independent of the mass of the body, only depends on (i) the mass of the earth and (ii) radius of the earth.
As all heavenly bodies like planets, the sun and the moon have different masses and different radii, so the value of 'g' is different heavenly bodies. So acceleration due to gravity 'g' is own significant properties of that planet.
Value of 'g' on the surface of the earth:
We know, \(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
Here mass of the earth \({M_E} = 6 \times {10^{24}}kg\) and \({R_E} = 6.4 \times {10^6}m\)
Therefore, \(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}} = \frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 6 \times {{10}^{24}}}}{{{{\left( {6.4 \times {{10}^6}} \right)}^2}}} = 9.8\) \(m/{s^2}\)
The value of 'g' on the surface of the moon = \(\frac{1}{6}\) times the value of 'g' on the surface of the earth.
পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল (Gravitational Attraction of the Earth):
অন্য যেকোনও বস্তুর ন্যায় পৃথিবীও তার উপর বা কাছাকাছি সকল বস্তুকে আকর্ষণ করে। পৃথিবীর এই মহাকর্ষ বলকে অভিকর্ষ (Gravity) বলে। অর্থাৎ পৃথিবীপৃষ্ঠে বা তার কাছাকাছি অবস্থিত বসজতুর ওপর নিজ কেন্দ্রের দিকে পৃথিবীর আকর্ষণ বলকে অভিকর্ষ বলে। এই অভিকর্ষের প্রভাবে অবাধে পতনশীল বস্তুতে যে ত্বরণ সৃষ্টি হয় তাকে অভিকর্ষজ ত্বরণ বলে।
ধরাযাক, m ভরের একটি বস্তুকনা পৃথিবীপৃষ্ঠে অবস্থিত। এখন পৃথিবীর ভর M হলে এবং পৃথিবীর সমগ্র ভর তার কেন্দ্রে অবস্থিত ধরে নিয়ে বস্তুটির ওপর পৃথিবীর অভিকর্ষজ বলের মান হয় \(F = \frac{{GMm}}{{{R^2}}}\)
এখন বস্তুটিতে সৃষ্ট ত্বরণ g হলে
বস্তুটির ত্বরণ (g) = \(\frac{F}{m} = \frac{{GMm}}{{m{R^2}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\) যেখানে R হল পৃথিবীর ব্যাসার্ধ্য।
সুতরাং কোনো বস্তুকে উপর থেকে ছেড়ে দেওয়া হলে বস্তুটি এই অভিকর্ষজ ত্বরণের ক্রিয়ায় নীচে নামে. কিন্তু এই ত্বরণের মান বস্তুটির ভরের উপর নির্ভর করে না। অর্থাৎ বস্তুতে সৃষ্ট এই ত্বরণ বস্তুটির ভর-নিরপেক্ষ।
পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ভর করে পৃথিবীর ভর এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ্যের উপর। তাই মহাবিশ্বে সকল বস্তুরই একটি নির্দিষ্ট মহাকর্ষের আকর্ষনজনিত টান তথা অভিকর্ষজ ত্বরণ থাকবে।
যেহেতু 'g' এর নমান বস্তুর ভরের উপর নির্ভর করে না, সুতরাং বলা যায় যে ভারী বা হালকা বস্তু একই ত্বরণে নীচে নামবে।
Value of "g" on the Earth Surface:Consider a body of mass 'm' lying on the surface of the earth. The gravitational force acting on the body is given by
\(F = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}\) where 'M' is the mass of the earth and 'R' is the radius of the earth. Here the mass of the earth is assumed to be concentrated at the centre of the earth.
Thus the acceleration experience by the body of mass 'm' is given by \(g = \frac{F}{m} = \frac{{\frac{{GMm}}{{{R^2}}}}}{m} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
Which is the expression for the acceleration due to gravity. We see that the acceleration due to gravity on earth in independent of the mass of the body, only depends on (i) the mass of the earth and (ii) radius of the earth.
As all heavenly bodies like planets, the sun and the moon have different masses and different radii, so the value of 'g' is different heavenly bodies. So acceleration due to gravity 'g' is own significant properties of that planet.
Value of 'g' on the surface of the earth:
We know, \(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
Here mass of the earth \({M_E} = 6 \times {10^{24}}kg\) and \({R_E} = 6.4 \times {10^6}m\)
Therefore, \(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}} = \frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 6 \times {{10}^{24}}}}{{{{\left( {6.4 \times {{10}^6}} \right)}^2}}} = 9.8\) \(m/{s^2}\)
The value of 'g' on the surface of the moon = \(\frac{1}{6}\) times the value of 'g' on the surface of the earth.
পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল (Gravitational Attraction of the Earth):
অন্য যেকোনও বস্তুর ন্যায় পৃথিবীও তার উপর বা কাছাকাছি সকল বস্তুকে আকর্ষণ করে। পৃথিবীর এই মহাকর্ষ বলকে অভিকর্ষ (Gravity) বলে। অর্থাৎ পৃথিবীপৃষ্ঠে বা তার কাছাকাছি অবস্থিত বসজতুর ওপর নিজ কেন্দ্রের দিকে পৃথিবীর আকর্ষণ বলকে অভিকর্ষ বলে। এই অভিকর্ষের প্রভাবে অবাধে পতনশীল বস্তুতে যে ত্বরণ সৃষ্টি হয় তাকে অভিকর্ষজ ত্বরণ বলে।
ধরাযাক, m ভরের একটি বস্তুকনা পৃথিবীপৃষ্ঠে অবস্থিত। এখন পৃথিবীর ভর M হলে এবং পৃথিবীর সমগ্র ভর তার কেন্দ্রে অবস্থিত ধরে নিয়ে বস্তুটির ওপর পৃথিবীর অভিকর্ষজ বলের মান হয় \(F = \frac{{GMm}}{{{R^2}}}\)
এখন বস্তুটিতে সৃষ্ট ত্বরণ g হলে
বস্তুটির ত্বরণ (g) = \(\frac{F}{m} = \frac{{GMm}}{{m{R^2}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\) যেখানে R হল পৃথিবীর ব্যাসার্ধ্য।
সুতরাং কোনো বস্তুকে উপর থেকে ছেড়ে দেওয়া হলে বস্তুটি এই অভিকর্ষজ ত্বরণের ক্রিয়ায় নীচে নামে. কিন্তু এই ত্বরণের মান বস্তুটির ভরের উপর নির্ভর করে না। অর্থাৎ বস্তুতে সৃষ্ট এই ত্বরণ বস্তুটির ভর-নিরপেক্ষ।
পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ভর করে পৃথিবীর ভর এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ্যের উপর। তাই মহাবিশ্বে সকল বস্তুরই একটি নির্দিষ্ট মহাকর্ষের আকর্ষনজনিত টান তথা অভিকর্ষজ ত্বরণ থাকবে।
যেহেতু 'g' এর নমান বস্তুর ভরের উপর নির্ভর করে না, সুতরাং বলা যায় যে ভারী বা হালকা বস্তু একই ত্বরণে নীচে নামবে।
| Acceleration due to gravity (g) | Universal gravitational constant (G) |
|---|---|
| (1)It is the acceleration acquired by a body due to earth’s gravitational pull on it. | (1) It is equal to the force of attraction between two masses of 1 kg each separated by a distance1 m. |
| (2)The value of g is different at different place on the surface of the earth. Its value varies from one heavenly body to another. | (2) G is a universal constant, i.e. its value is the same everywhere in the universe. Its value \(6.67 \times {10^{ - 11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\) |
| (3) It is a vector quantity. | (3) It is a scalar quantity. |
| (4) The value of g at the centre of the earth is zero. | (4) The value of G is not zero at the centre of the earth or anywhere else. |
| অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) | সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক (G) |
|---|---|
| (i) পৃথিবীর অভিকর্ষজনিত টানে অবাধে পতনশীল কোনো বস্তু যে ত্বরণ প্রাপ্ত হয়, তাকে অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) বলে। | (i) 1 kg ভরের দুটি বস্তু পরস্পর থেকে 1 m দূরত্বে থাকলে তাদের মধ্যে যে আকর্ষণ বল ক্রিয়া করে, তাকে সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক বলে। |
| (ii) অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) পৃথিবীপৃষ্ঠের বিভিন্ন জায়গায় বিভিন্ন হয় এবং বিভিন্ন নভোমন্ডলীয় বস্তুর ক্ষেত্রেও বিভিন্ন হয়। | (ii) সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবকের মান বিশ্বের সব জায়গায় একই হয়। এর মান \(6.67 \times {10^{ - 11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\) |
| (iii) এটি একটি ভেক্টর রাশি। | (iii) এটি একটি স্কেলার রাশি। |
| (iv) পৃথিবীর কেন্দ্রে এই অভিকর্ষজ ত্বরণের মান শূন্য হয়। | (iv) পৃথিবীর কেন্দ্র বা অন্য কোথাও মহাকর্ষীয় ধ্রুবকের মান শূন্য হয় না। |
Mass of the Earth = \(6 \times {10^{24}}kg\)
Radius of the Earth = \(6.4 \times {10^6}m\)
Universal Gravitational Constant = \(6.67 \times {10^{ - 11}}N.{m^2}k{g^{ - 2}}\)
Thus, \(g = \frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 6 \times {{10}^{24}}}}{{{{\left( {6.4 \times {{10}^6}} \right)}^2}}} = 9.8m.{s^{ - 2}}\)
Gravitation and Gravity:
The force of attraction between any two objects by virtue of their masses is called gravitation or gravitational force. For example, force of attraction between any two objects such as book, table, chair and between any two heavenly bodies (Earth, Moon and Sun) is the example of gravitation.
Gravity: The force of gravitation exerted by a huge heavenly body such as the earth, the moon or the sun etc. on a smaller object near its surface is called its gravity or the force of gravity. The force of attraction between the earth and any other body is known as gravity. Thus gravity is a special case of gravitation.
| Gravitation | Gravity |
|---|---|
| (i) It is the phenomenon of attraction between any two objects in the universe. It is always attractive in nature. | (i) It is the phenomenon of attraction between earth and any other body. |
| (ii) If \({m_1}\) and \({m_2}\) two masses are separated by a distance r, then the gravitational force of attraction is \( = \frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) , where G is the universal gravitational constant. | (ii) If an object of mass m situated near earth surface, the force due to gravity is F=mg |
| (iii) The direction of the gravitational force is along the line joining the two mass. | (iii) The direction of the gravity is towards the center of earth. |
| (iv) If the two masses separated by an infinite distance than gravitational force becomes zero. | (iv) At the center of the earth the force of gravity is zero. |
| মহাকর্ষ (Gravitation) | অভিকর্ষ (Gravity) |
|---|---|
| (i) মহাবিশ্বে যেকোনো দুটি বস্তুর মধ্যে আকর্ষণ বল হল মহাকর্ষ। | (i) পৃথিবীপৃষ্ঠে বা পৃথিবীর কাছাকাছি অবস্থিত কোনো বস্তুর উপর পৃথিবীর আকর্ষণ হল অভিকর্ষ। |
| (ii) \({m_1}\) এবং \({m_2}\) ভরের দুটি বস্তু r দূরত্বে থাকলে, বস্তুদুটির মধ্যে মহাকর্ষ বল হয় \( = \frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) , যেখানে G হল সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক। | (ii) m ভরের একটি বস্তুর উপর পৃথিবীর অভিকর্ষের জন্য বলের মান হয় F=mg, যেখানে g হল পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণ। |
| (iii) দুটি বস্তুর মধ্যে মহাকর্ষীয় বলের অভিমুখ বস্তুদুটির কেন্দ্রের সংযোগকারী রেখা বরাবর। | (iii) অভিকর্ষ বলের অভিমুখ বস্তু থেকে সর্বদা পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে। |
| (iv) দুটি বস্তুর মধ্যে ব্যবধান অসীম হলে, তাদের মধ্যে মহাকর্ষ বলের মান শূন্য হয়। | (iv) পৃথিবীর কেন্দ্রে কোনো বস্তুর অভিকর্ষ বলের মান শূন্য হয়। |
Variation of Acceleration due to Gravity (Change with Height):
\(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\) ... ... ... ... ...(1)
Now we consider a body of mass 'm' at a height 'h' above the surface of the earth, then the acceleration due to gravity at height 'h' is given by
\({g_h} = \frac{{GM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\) ... ... ... ... ... (2)
Now dividing (2) by (1), we get
\(\frac{{{g_h}}}{g} = \frac{{\frac{{GM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}}}{{\frac{{GM}}{{{R^2}}}}} = \frac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\)
\(h < < R\) হলে
or, \(\frac{{{g_h}}}{g} = \frac{1}{{\frac{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}{{{R^2}}}}} = \frac{1}{{{{\left( {1 + \frac{h}{R}} \right)}^2}}} = {\left( {1 + \frac{h}{R}} \right)^{ - 2}} \approx \left( {1 - \frac{{2h}}{R}} \right)\)
or, \({g_h} = g\left( {1 - \frac{{2h}}{R}} \right)\)
Here this equation shows that acceleration due to gravity decrease as we go away from the surface of the earth.
Notes:
The decrease in value of 'g' with height 'h' = \(\left( {g - {g_h}} \right) = \frac{{2gh}}{R}\)
% decrease in value of 'g' = \(\frac{{\left( {g - {g_h}} \right)}}{g} \times 100\% = \frac{{2h}}{R} \times 100\% \)
Variation of Acceleration due to Gravity (Change with Height):
এখন পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ 'g' হলে আমরা জানি,
\(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\) ... ... ... ... (1)
যেখানে 'M' পৃথিবীর ভর এবং 'R' পৃথিবীর ব্যাসার্ধ্য, এবং 'G' হল সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক।
পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে 'h' উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \({g_h}\) হলে
\({g_h} = \frac{{GM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\) ... ... ... ... ... (2)
এখন (2) নং সমীকরণকে (1) নং দিয়ে ভাগ করে পাই
\(\frac{{{g_h}}}{g} = \frac{{\frac{{GM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}}}{{\frac{{GM}}{{{R^2}}}}} = \frac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\)
\(h < < R\) হলে লেখা যায়
or, \(\frac{{{g_h}}}{g} = \frac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{R + h}}{R}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {1 + \frac{h}{R}} \right)}^2}}} = {\left( {1 + \frac{h}{R}} \right)^{ - 2}} \approx \left( {1 - \frac{{2h}}{R}} \right)\)
or, \(\frac{{{g_h}}}{g} = \left( {1 - \frac{{2h}}{R}} \right)\)
or, \({g_h} = g\left( {1 - \frac{{2h}}{R}} \right)\)
Notes:
পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে 'h' উচ্চতায় উঠলে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কমে \(\left( {g - {g_h}} \right) = \frac{{2gh}}{R}\)
পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে 'h' উচ্চতায় উঠলে 'g' এর মান শতকরা কমে \(\frac{{\left( {g - {g_h}} \right)}}{g} \times 100\% = \frac{{2h}}{R} \times 100\% \)
সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে উচ্চতা বাড়লে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান, ভূপৃষ্ঠের মানের থেকে কম হয়।
Variation of Acceleration due to Gravity (Change with Depth):
\(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\) ... ... ... ... (1)
Now we consider the earth to be a homogeneous sphere of uniform density \(\rho \) and radius = R
Then the mass of the earth = Volume of the earth \( \times \) mean density of the earth.
= \(\frac{4}{3}\pi {R^3} \times \rho = \frac{4}{3}\pi {R^3}\rho \)
Therefore the acceleration due to gravity on the surface of the earth = \(\frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}\rho G}}{{{R^2}}} = \frac{4}{3}\pi R\rho G\) ... ... ... ... ... (1)
Now when a body is taken to a depth 'd', the mass of the sphere of radius (R-d) will only be effective for the gravitational pull and outward shell will have no resultant effect on the mass of the body.
Therefore the acceleration due to gravity on the surface of the solid sphere of radius (R-d) of the earth.
Then \({g_d} = \frac{{G{M^*}}}{{{{(R - d)}^2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi \rho G{{\left( {R - d} \right)}^3}}}{{{{(R - d)}^2}}} = \frac{4}{3}\pi \rho G(R - d)\) ... ... ... ... ... (2)
Now divide the equation (2) by (1), we get
\(\frac{{{g_d}}}{g} = \frac{{\frac{4}{3}\pi \rho G\left( {R - d} \right)}}{{\frac{4}{3}\pi \rho GR}} = \frac{{R - d}}{R} = \left( {1 - \frac{d}{R}} \right)\)
or, \({g_d} = g\left( {1 - \frac{d}{R}} \right)\)
or, \(({g_d} - g) = \frac{d}{R}\)
This equation shows that acceleration due to gravity decreases as we go down below the surface of the earth.
Important Notes:
(1) At the center of the earth, \(d = R\), so \({g_{center}} = g\left( {1 - \frac{R}{R}} \right) = 0\)
Thus the value of 'g' at the center of earth is zero if earth is assumed to be a sphere of uniform density. But value of 'g' at any point in the interior of the earth cannot be zero if earth is not of uniform density.
(2) The weight of the body 'mg' at the center of the earth is zero.
(3) Decrease the value of 'g' with depth = \(g - {g_d} = \frac{{gd}}{R}\)
(4) % decrease the value of 'g' = \(\frac{{g - {g_d}}}{g} \times 100\% = \frac{d}{R} \times 100\% \)
Variation of Acceleration due to Gravity (Change with Depth):
ধরাযাক পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে 'd' গভীরতায় একটি 'm' ভরের বস্তুকণা আছে। পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে ওই বস্তুকণার দূরত্ব (R-d)। যেখানে R হল পৃথিবীর ব্যাসার্ধ্য।এখন দেখানো যায় যে d গভীরতায় ওই বস্তুর উপর অভিকর্ষ বল কেবলমাত্র (R-d) ব্যাসার্ধ্যের আভ্যন্তরীন গোলকটির জন্য হবে। d বেধ বিশিষ্ট বাইরের খোলক অংশটির জন্য বস্তুর কোনো লব্ধিবল প্রয়োগ হবে না।
এখন পৃথিবীর গড় ঘনত্ব \(\rho \) হলে পৃথিবীর ভর হয় \(M = \frac{4}{3}\pi {R^3}\rho \) এবং পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান হয়
\(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi \rho {R^3}G}}{{{R^2}}} = \frac{4}{3}\pi \rho RG\)
এবং d গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ হয় \({g_d} = \frac{{G{M^*}}}{{{{\left( {R - d} \right)}^2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi \rho G{{\left( {R - d} \right)}^3}}}{{{{\left( {R - d} \right)}^2}}} = \frac{4}{3}\pi \rho G\left( {R - d} \right)\)
বা, \(\frac{{{g_h}}}{g} = \frac{{\frac{4}{3}\pi \rho G\left( {R - d} \right)}}{{\frac{4}{3}\pi \rho GR}} = \frac{{\left( {R - d} \right)}}{R} = \left( {1 - \frac{d}{R}} \right)\)
বা, \({g_d} = g\left( {1 - \frac{d}{R}} \right)\)
Special Notes:
(1) এখন পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে d গভীরতায় গেলে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কমে \(\left( {g - {g_d}} \right) = \frac{{gd}}{R}\)
(2) d গভীরতায় g এর আনুপাতিক হ্রাস হয় \(\frac{{\left( {g - {g_d}} \right)}}{g} = \frac{d}{R}\)
(3) d গভীরতায় g এর শতকরা হ্রাস হয় \(\frac{{\left( {g - {g_d}} \right)}}{g} \times 100\% = \frac{d}{R} \times 100\% \)
(4) পৃথিবীর কেন্দ্রে \(d = R\) হয়, সেক্ষেত্রে \({g_d} = g\left( {1 - \frac{d}{R}} \right) = g\left( {1 - \frac{R}{R}} \right) = 0\)
Variation of acceleration due to gravity with shape of the earth:
The value of 'g' vary with the shape of the earth. The acceleration due to gravity 'g' on the surface of the earth is given by \(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\) ... ... ... (1)
The expression of 'g' is calculated by considering the earth as a spherical body, but earth is not spherical in shape. It is elliptical in shape. Therefore the radius of the earth (R) is not constant throughout. Hence the value of 'g' is different at different points on the earth. The equatorial radius (\({R_E}\)) of the earth is about 21 km longer than polar radius (\({R_P}\)).
Now the acceleration of gravity 'g' at equator is \({g_E} = \frac{{GM}}{{R_E^2}}\)... ... ... ... ... (1)
And the acceleration of gravity 'g' at pole is \({g_P} = \frac{{GM}}{{R_P^2}}\) ... ... ... ... ... (2)
Dividing equation (2) by (1), we get
\(\frac{{{g_P}}}{{{g_e}}} = \frac{{\frac{{GM}}{{R_P^2}}}}{{\frac{{GM}}{{R_e^2}}}} = \frac{{R_e^2}}{{R_P^2}} = {\left( {\frac{{{R_e}}}{{{R_p}}}} \right)^2} > 1\)
Therefore, \(\frac{{{g_p}}}{{{g_e}}} > 1\)
So, \({g_p} > {g_e}\)
Thus the value of 'g' at the pole is more than at the equator.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
পৃথিবীর আকার সম্পূর্ন গোল নয়। পৃথিবীর মেরুপ্রদেশ একটু চাপা এবং বিষুব অঞ্চল একটু ফোলানো। পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে মেরুদ্বয়ের দূরত্ব, বিষুব দূরত্ব অপেক্ষা প্রায় 21 km কম হয়। পৃথিবীকে গোলকাকার ধরে নিয়ে পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের রাশিমালা হয় \(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)। কিন্তু পৃথিবীর নিরক্ষীয় ব্যাস, মেরু অঞ্চলের ব্যাস অপেক্ষা বড়ো। তাই পৃথিবীপৃষ্ঠের বিভিন্ন জায়গায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভিন্ন ভিন্ন হয়।
এখন পৃথিবীর নিরক্ষীয় ব্যাসার্ধ্য \({R_E}\) এবং মেরু ব্যাসার্ধ্য \({R_p}\) হলে নিরক্ষীয় অঞ্চলে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান হয়, \({g_e} = \frac{{GM}}{{R_e^2}}\)
এবং মেরু অঞ্চলের অভিকর্ষজ ত্বরণের মান \({g_p} = \frac{{GM}}{{R_p^2}}\)
এখন \(\frac{{{g_p}}}{{{g_e}}} = \frac{{\frac{{GM}}{{R_p^2}}}}{{\frac{{GM}}{{R_e^2}}}} = \frac{{R_e^2}}{{R_p^2}} = {\left( {\frac{{{R_e}}}{{{R_p}}}} \right)^2} > 1\)
বা, \(\frac{{{g_p}}}{{{g_e}}} > 1\)
বা, \({g_p} > {g_e}\)
সুতরাং নিরক্ষীয় অঞ্চলে অভিকর্ষ ত্বরণের মান অপেক্ষা মেরু অঞ্চলে অভিকর্ষজ ত্বরণ বেশি হয়।
Variation of 'g' with distance 'r' from the center of the earth:
পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে 'r' দূরত্বে (r<R) একটি বস্তু রাখা আছে। এই অবস্থানে পৃথিবীর অভিুকর্ষজ ত্বরণ \(\begin{array}{l}\\{g^*} = g\left( {1 - \frac{d}{R}} \right) = g\left( {\frac{{R - d}}{R}} \right)\end{array}\)
এখন \(\left( {R - d} \right) = r\) ধরলে লেখা যায়,
\({g^*} = g\frac{r}{R}\)
সুতরাং \({g^*} \propto r\) যেখানে g এবং R ধ্রুবক।
এখন বস্তুটিকে পৃথিবীপৃষ্ঠে রাখা হলে, সেক্ষেত্রে \(r = R\), সেক্ষেত্রে \({g^*} = g \times \frac{R}{R}\)
বা, \(g \propto \frac{1}{{{r^2}}}\)
এখন বস্তুটিকে পৃথিবেী পৃষ্ঠ থেকে 'r' দূরত্বে রাখা হল। অর্থাৎ \(g = g\frac{R}{R} = 0\)
\({g^*} = \frac{g}{{{{\left( {1 + \frac{h}{R}} \right)}^2}}} = \frac{{g{R^2}}}{{{{\left( {h + R} \right)}^2}}}\)
বা, \({g^*} = \frac{g}{{{{\left( {1 + \frac{h}{R}} \right)}^2}}} = \frac{{g{R^2}}}{{{{\left( {h + R} \right)}^2}}}\)
এখন \(\left( {R + h} \right)\) কে \(r\) ধরলে, \({g^*} = \frac{{g{R^2}}}{{{r^2}}}\)
\(g \propto \frac{1}{{{r^2}}}\)
| কেন্দ্র থেকে পৃথিবীপৃষ্ঠ | পৃথিবীপৃষ্ঠ | পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে বাইরে |
|---|---|---|
| \({g^*} \propto r\) | \({g^*} = g\) | \(g \propto \frac{1}{{{r^2}}}\) |
When distance of the body is less than or equal to the radius of the earth, i.e. \(r \le R\)Then, \({g^*} = g\left( {1 - \frac{d}{R}} \right) = g\left( {\frac{{R - d}}{R}} \right)\)
Let, \(\left( {R - d} \right) = r\)
Then \({g^*} = \frac{g}{R}r\)
or, \({g^*} \propto r\) ... ... ... ... ... ... (1)
If \(r > R\) then, \({g^*} = \frac{g}{{{{\left( {1 + \frac{h}{R}} \right)}^2}}} = \frac{{g{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\)
Let \(\left( {R + h} \right) = r\)
Then \({g^*} = \frac{{g{R^2}}}{{{r^2}}}\)
or, \({g^*} \propto \frac{1}{{{r^2}}}\) ... ... ... ... ... ... (2)
The weight of the body increases as it goes from the center of the earth to the surface of earth and becomes maximum at the surface of the earth.
Change in the weight of a Body:
Let the weight of a body on the surface of the earth \( = mg\). If the body is taken to a certain height or depth, then the value of 'g' will change to \({g^*}\). Due to this, the weight of the body will become \(m{g^*}\)
Change in weight of the body = \(mg - m{g^*}\)
% change in the weight of the body = \(\frac{{mg - m{g^*}}}{{mg}} \times 100\% \)
(1) Let the body be taken to a height 'h' above the earth surface of the earth, then \({g^*} = g\left( {1 - \frac{{2h}}{R}} \right)\)
Hence change in weight = \(mg - m{g^*} = mg - mg\left( {1 - \frac{{2h}}{R}} \right) = \frac{{2mgh}}{R}\)
% change in the weight = \(\frac{{mg - m{g^*}}}{{mg}} \times 100\% = \frac{{\frac{{2mgh}}{R}}}{{mg}} \times 100\% = \frac{{2h}}{R} \times 100\% \)
(2) Let the body be taken to the depth 'h' from the surface of the earth, then \({g^*} = g\left( {1 - \frac{d}{R}} \right)\)
Change in weight of the body = \(mg - m{g^*} = mg - mg\left( {1 - \frac{d}{R}} \right) = \frac{{mgd}}{R}\)
% change in weight of the body = \(\frac{{mg - m{g^*}}}{{mg}} \times 100\% = \frac{{mg - mg\left( {1 - \frac{d}{R}} \right)}}{{mg}} \times 100\% = \frac{d}{R} \times 100\% \)
ধরাযাক পৃথিবীপৃষ্ঠে একটি বস্তুর ওজন হল \(mg\), কারণ পৃথিবীপৃষ্এ অভিকর্ষজ ত্বরণের মান হয় \(g\)। এখন বস্তুটিকে পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে \(h\) উচ্চতায় নিয়ে গেলে বা পৃষ্ঠ থেকে d গভীরতায় নিয়ে গেলে তার অভিকর্ষজ ত্বরণ পরিবর্তিত হয়ে 'g' হয়। এখন বস্তুর ওজন হয় \(m{g^*}\)।
এখন বস্তুটির ওজনের পরিবর্তন হয় = \(mg - m{g^*}\)
বস্তুটির ওজনের শতকরা পরিবর্তন = \(\frac{{mg - m{g^*}}}{{mg}} \times 100\% \)
(1) এখন বস্তুটিকে পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে 'h' উচ্চতায় নিয়ে গেলে অভিকর্ষজ ত্বরণ হয় \({g^*} = g\left( {1 - \frac{{2h}}{R}} \right)\)
বস্তুটির ওজনের পরিবর্তন হয় = \(mg - m{g^*} = mg - m\left( {1 - \frac{{2h}}{R}} \right) = \frac{{2mgh}}{R}\)
বস্তুটির ওজনের শতকরা পরিবর্তন হয় = \(\frac{{mg - m{g^*}}}{{mg}} \times 100\% = \frac{{2h}}{R} \times 100\% \)
(2) এখন বস্তুটিকে পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে 'd' গভীরতায় নিয়ে গেলে অভিকর্ষজ ত্বরণ হয় = \({g^*} = g\left( {1 - \frac{d}{R}} \right)\)
তাই বস্তুটির ওজনের পরিবর্তন হয় = \(mg - m{g^*} = mg - mg\left( {1 - \frac{d}{R}} \right) = \frac{{mgd}}{R}\)
এবং বস্তুটির ওজনের শতকরা পরিবর্তন হয় = \(\frac{{mg - m{g^*}}}{{mg}} \times 100\% = \frac{{mgd}}{{mgR}} \times 100\% = \frac{d}{R} \times 100\% \)
COMMENTS